QCM corrigés : Mathématiques (niveau bac)

Questions originales rédigées pour l’entraînement : elles reproduisent le style et le niveau des épreuves, pas des sujets officiels.

1. Débutant
   Que vaut lim (x→+∞) (3x² − x + 1)/(x² + 5) ?
   1. +∞
   2. 3
   3. 0
   4. 1/5
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   Bonne réponse : 3
   En +∞, une fonction rationnelle a la même limite que le quotient de ses termes de plus haut degré : 3x²/x² = 3.
2. Intermédiaire
   f est continue sur [a, b] avec f(a) < 0 < f(b). Que peut-on affirmer ?
   1. f s'annule en (a + b)/2
   2. L'équation f(x) = 0 admet exactement une solution dans ]a, b[
   3. L'équation f(x) = 0 admet au moins une solution dans ]a, b[
   4. f est strictement croissante sur [a, b]
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   Bonne réponse : L'équation f(x) = 0 admet au moins une solution dans ]a, b[
   Le TVI garantit l'existence d'au moins un réel c de ]a, b[ tel que f(c) = 0. L'unicité demande en plus que f soit strictement monotone.
3. Débutant
   Quelle est la dérivée de f(x) = x³ − 4x + 7 ?
   1. f'(x) = x² − 4
   2. f'(x) = 3x² + 7
   3. f'(x) = 3x² − 4
   4. f'(x) = 3x² − 4x
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   Bonne réponse : f'(x) = 3x² − 4
   (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹ ; la dérivée de −4x est −4 et celle d'une constante est 0.
4. Intermédiaire
   Sur quel intervalle la fonction f(x) = x³ − 3x est-elle décroissante ?
   1. ]−∞ ; −1]
   2. [−1 ; 1]
   3. [0 ; 3]
   4. [1 ; +∞[
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   Bonne réponse : [−1 ; 1]
   f'(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1) est négative entre les racines −1 et 1 : f est décroissante sur [−1 ; 1].
5. Débutant
   Que vaut ln(e³) ?
   1. e³
   2. 3e
   3. 3
   4. 1/3
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   Bonne réponse : 3
   ln et exp sont réciproques l'une de l'autre : ln(eˣ) = x pour tout réel x.
6. Débutant
   Que vaut e^(ln 5) ?
   1. 1/5
   2. ln 5
   3. e⁵
   4. 5
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   Bonne réponse : 5
   Pour tout x > 0, e^(ln x) = x.
7. Débutant
   Une suite arithmétique a pour premier terme u₀ = 5 et pour raison r = 3. Que vaut u₁₀ ?
   1. 30
   2. 35
   3. 15
   4. 38
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   Bonne réponse : 35
   uₙ = u₀ + n·r = 5 + 10 × 3 = 35.
8. Débutant
   Que vaut l'intégrale de 0 à 1 de 2x dx ?
   1. 0
   2. 1/2
   3. 2
   4. 1
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   Bonne réponse : 1
   Une primitive de 2x est x² : [x²] de 0 à 1 = 1 − 0 = 1.
9. Débutant
   Dans ℂ, que vaut i³ ?
   1. i
   2. −i
   3. 1
   4. −1
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   Bonne réponse : −i
   i² = −1, donc i³ = i² × i = −i (et i⁴ = 1).
10. Débutant
    Combien y a-t-il de façons de choisir 2 personnes parmi 5, sans tenir compte de l'ordre ?
    1. 10
    2. 20
    3. 5
    4. 25
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    Bonne réponse : 10
    C(5, 2) = 5!/(2!·3!) = (5 × 4)/2 = 10.
11. Intermédiaire
    Quelles sont les solutions de l'équation différentielle y' = 2y ?
    1. y = k·e^(x/2), k ∈ ℝ
    2. y = k·e^(2x), k ∈ ℝ
    3. y = x² + k, k ∈ ℝ
    4. y = 2eˣ + k, k ∈ ℝ
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    Bonne réponse : y = k·e^(2x), k ∈ ℝ
    Les solutions de y' = ay sont les fonctions x ↦ k·e^(ax), k réel.
12. Intermédiaire
    Que vaut le produit scalaire des vecteurs u(1 ; 2 ; −1) et v(3 ; 0 ; 2) ?
    1. 5
    2. 1
    3. 3
    4. −1
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    Bonne réponse : 1
    Dans un repère orthonormé, u·v = 1×3 + 2×0 + (−1)×2 = 3 + 0 − 2 = 1.
13. Intermédiaire
    Quel est le PGCD de 84 et 120 ?
    1. 24
    2. 6
    3. 12
    4. 4
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    Bonne réponse : 12
    84 = 2² × 3 × 7 et 120 = 2³ × 3 × 5, donc PGCD = 2² × 3 = 12. Par Euclide : 120 = 84 + 36, 84 = 2 × 36 + 12, 36 = 3 × 12.
14. Débutant
    Que vaut cos(π/3) ?
    1. 0
    2. √3/2
    3. 1/2
    4. √2/2
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    Bonne réponse : 1/2
    Valeurs remarquables : cos(π/3) = 1/2, sin(π/3) = √3/2, cos(π/4) = sin(π/4) = √2/2.
15. Débutant
    Quelles sont les solutions de l'équation x² − 5x + 6 = 0 ?
    1. 1 et 6
    2. −2 et −3
    3. 2 et 3
    4. −1 et 6
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    Bonne réponse : 2 et 3
    Δ = 25 − 24 = 1 et x = (5 ± 1)/2. Vérification : la somme des racines vaut 5 et leur produit 6.
16. Intermédiaire
    Que vaut lim (x→0) sin(3x)/x ?
    1. 3
    2. 1
    3. 1/3
    4. 0
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    Bonne réponse : 3
    On écrit sin(3x)/x = 3 × sin(3x)/(3x). Comme lim (u→0) sin(u)/u = 1, la limite est 3 × 1 = 3.
17. Intermédiaire
    L'équation x³ + x − 1 = 0 admet une unique solution réelle α. Dans quel intervalle se trouve α ?
    1. ]0 ; 0,5[
    2. ]1 ; 1,5[
    3. ]−1 ; 0[
    4. ]0,5 ; 1[
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    Bonne réponse : ]0,5 ; 1[
    f(x) = x³ + x − 1 est strictement croissante (f'(x) = 3x² + 1 > 0). f(0,5) = −0,375 < 0 et f(1) = 1 > 0 : d'après le TVI, α ∈ ]0,5 ; 1[ (α ≈ 0,68).
18. Intermédiaire
    Quelle est la dérivée de f(x) = x·eˣ ?
    1. f'(x) = eˣ
    2. f'(x) = (x + 1)eˣ
    3. f'(x) = x·eˣ
    4. f'(x) = (x − 1)eˣ
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    Bonne réponse : f'(x) = (x + 1)eˣ
    Dérivée d'un produit : (uv)' = u'v + uv' = 1·eˣ + x·eˣ = (x + 1)eˣ.
19. Intermédiaire
    Quelle droite est asymptote oblique à la courbe de f(x) = x + 2 + 1/x en +∞ ?
    1. y = x + 2
    2. x = 0
    3. y = x
    4. y = 2
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    Bonne réponse : y = x + 2
    f(x) − (x + 2) = 1/x → 0 quand x → +∞, donc y = x + 2 est asymptote oblique. La droite x = 0 est, elle, une asymptote verticale.
20. Débutant
    Que vaut ln(8) − ln(2) ?
    1. ln(6)
    2. ln(16)
    3. 3
    4. ln(4)
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    Bonne réponse : ln(4)
    ln a − ln b = ln(a/b) : ln(8/2) = ln 4, qui vaut aussi 2 ln 2.
21. Intermédiaire
    Quelle est la solution de l'équation e^(2x) = 3 ?
    1. x = 2 ln(3)
    2. x = ln(3)/2
    3. x = ln(6)
    4. x = 3/2
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    Bonne réponse : x = ln(3)/2
    e^(2x) = 3 ⇔ 2x = ln 3 ⇔ x = (ln 3)/2.
22. Débutant
    Une suite géométrique a pour premier terme u₀ = 2 et pour raison q = 3. Que vaut u₄ ?
    1. 486
    2. 162
    3. 54
    4. 14
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    Bonne réponse : 162
    uₙ = u₀·qⁿ = 2 × 3⁴ = 2 × 81 = 162.
23. Intermédiaire
    Que vaut l'intégrale de 1 à e de (1/x) dx ?
    1. 1
    2. e − 1
    3. e
    4. 0
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    Bonne réponse : 1
    Une primitive de 1/x sur ]0 ; +∞[ est ln x : ln e − ln 1 = 1 − 0 = 1.
24. Débutant
    Quel est le module du nombre complexe z = 3 + 4i ?
    1. 5
    2. 7
    3. 25
    4. √7
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    Bonne réponse : 5
    |a + ib| = √(a² + b²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
25. Débutant
    De combien de façons peut-on ranger 4 livres différents sur une étagère ?
    1. 16
    2. 4
    3. 12
    4. 24
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    Bonne réponse : 24
    Le nombre de permutations de 4 objets distincts est 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24.
26. Intermédiaire
    Quelle est la solution de y' = −y vérifiant y(0) = 3 ?
    1. y = 3e^(−x)
    2. y = e^(−3x)
    3. y = 3eˣ
    4. y = −3eˣ
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    Bonne réponse : y = 3e^(−x)
    Les solutions sont y = k·e^(−x) ; la condition y(0) = k = 3 fixe la constante.
27. Débutant
    Quel vecteur est normal au plan d'équation 2x − y + 3z − 5 = 0 ?
    1. n(2 ; 1 ; 3)
    2. n(1 ; −1 ; 1)
    3. n(2 ; −1 ; 3)
    4. n(−5 ; 0 ; 0)
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    Bonne réponse : n(2 ; −1 ; 3)
    Le plan d'équation ax + by + cz + d = 0 admet n(a ; b ; c) comme vecteur normal.
28. Intermédiaire
    Quel est le reste de la division euclidienne de 2¹⁰ par 7 ?
    1. 2
    2. 3
    3. 1
    4. 4
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    Bonne réponse : 2
    2³ = 8 ≡ 1 (mod 7), donc 2⁹ = (2³)³ ≡ 1 et 2¹⁰ ≡ 2 (mod 7). Vérification : 1 024 = 7 × 146 + 2.
29. Débutant
    Pour tout réel x, cos²(x) + sin²(x) vaut :
    1. cos(2x)
    2. 2
    3. 1
    4. 0
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    Bonne réponse : 1
    C'est la relation fondamentale de la trigonométrie, conséquence du théorème de Pythagore dans le cercle trigonométrique.
30. Intermédiaire
    Que vaut lim (x→+∞) ln(x)/x ?
    1. 0
    2. 1
    3. e
    4. +∞
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    Bonne réponse : 0
    Croissances comparées : x croît beaucoup plus vite que ln x en +∞, donc ln(x)/x → 0.